Philip J. Davis – Reuben Hersh: A matematika élménye

Typotex, 2013

Dr Osman Péter ismertetése

ϴ „Az a tudás, amelyet a geometria célul tűz ki, az örökérvényűnek a tudása.” – Platón: Az Állam ϴ „Ami olykor világos... és olykor homályos valami...az ... a matematika.” – Lakatos Imre ϴ „Az, amit pontosan meghatároztak, elrendeztek, adatszerűen feldolgoztak, sosem elegendő a teljes igazság megragadásához: az élet mindig túlcsordul minden serleg peremén.” – Borisz Paszternak ϴ „Bizonyos mértékig a matematika minden erőfeszítése arra irányul, hogy rendet teremtsen ott, ahol korábban látszólag a káosz uralkodott, hogy struktúrát és invarianciát nyerjen a rendezetlenség és zűrzavar közepén.” ϴ „Alig van olyan kultúra, bármilyen primitív legyen is, amelyben ne léteznék legalább csíra formájában a matematika. A nyugati matematika — mint rendszeres tevékenység — főáramának forrásvidéke Egyiptom és Mezopotámia. Onnan terjedt át Görögországra, majd a görög-római világra. Vagy ötszáz évvel Róma pusztulása utána matematikai alkotás lángja majdhogynem kihunyt Európában; valószínűleg Perzsiában őrződött meg. Néhány évszázaddal később újra fellobbant a láng az iszlám világban, majd onnan a matematikai tudás és a matematika iránti lelkesedés Szicílián és Itálián keresztül átterjedt egész Európára.” ϴ „Milyen segédeszközökre vagy felszerelésre van szükség a matematikához? Az a híres kép, amelyen Arkhimédész egy homokba rajzolt problémán gondolkodik, miközben római katonák fenyegetően lesben állnak a háttérben, áthatotta a szakma szellemét, és hozzájárult ahhoz, hogy kialakítsa önképét. Eszerint alig-alig szükségesek a matematikához eszközök. Nem kell hozzá más, mint esetleg egy kis homok és félelmetes mennyiségű ész.” ϴ „Minden eddigi tapasztalat azt mutatja, hogy az új matematikai problémáknak két kiapadhatatlan forrása van. Az egyik a tudomány és a technika fejlődése, amely igényli a matematika segítségét. A másik a matematika maga. Ahogy egyre kidolgozottabbá és összetettebbé válik, minden új, kidolgozott eredmény új kutatások kiindulópontja lehet. Bármely két — látszólag teljesen független matematikai terület — kimondatlanul is arra csábít, hogy gyümölcsöző kapcsolatot keressünk közöttük.” ϴ „Azt a tevékenységet, amelyben a matematikát saját területén kívül használjuk, alkalmazott matematikának szoktuk nevezni. Az alkalmazott matematika, természeténél fogva, diszciplínák kereszteződése, és ideális esetben valószínűleg olyan valakinek kell vele foglalkoznia, akinek a fő érdeklődési területe nem a matematika. Ha a másik diszciplína mondjuk a fizika, nehéz lesz eldönteni, hogy mit nevezzünk alkalmazott matematikának és mit elméleti fizikának.” ϴ „Úgy tartják, hogy a matematika akkor kezdődött, amikor a három alma képzetéből elváltak az almák és megszületett a hármas szám. Ez az absztrakciós folyamat egy pillanata. Az absztrakció azonban olyan szó, amelyet számos különböző, de egymással összefüggő értelemben használnak a matematikában, így lényeges, hogy kifejtsük ezeket.” ϴ „Van olyan nézet, amely szerint a matematika a végtelen tudománya. (…) E nézet képviselői úgy gondolják, hogy jelentős matematika akkor fejlődött ki, amikor tárgyának univerzuma annyira kitágult, hogy magába foglalta a végtelent.” ϴ „A rend — mégpedig az intellektuális rend — megteremtése a legnagyobb emberi adottságok egyike, és elfogadott ténynek számít, hogy a matematika a teljes intellektuális rend tudománya.” ϴ „A matematikus, akár csak a festő vagy költő — írta G. H. Hardy — a forma mestere.” (G. H. Hardy [1877-1947] neves angol matematikus, eredményeit a számelmélet és a matematikai analízis terén tartják kiemelkedőnek. Ő maga a legnagyobb szakmai tettének az őstehetség indiai matematikus Srinivasa Ramanujan felfedezését nevezte. Ramanujan szerepel a könyvben is. – OP) „A matematika tévedéseken keresztül, bizonyítások és cáfolások harcában fejlődik. Nincs abszolút végleges matematikai igazság, bár vannak "sziklaszilárd", a matematikai gyakorlat által sokszorosan megerősített tételeink.” ϴ „Egy bebizonyított tétel elvben bármikor ki van téve a megtámadás, a cáfolás lehetőségének. A matematikai bizonyítás szabatosságának nincs objektív kritériuma. A diák azon kérdésére, hogy ki dönti el, jó-e a bizonyítás, az ideális matematikus jogosan válaszolja: "Ki más, mint én?"" – idézetek a könyvből.

Amiről e könyv szól, az nem a matek, az a Matematika. Vajon tekintheti-e magát bárki is modern műveltséggel bíró embernek, ha csupán annyit tud róla, hogy az „titok, idegenség, lidérces, messze fény”? Félő, hogy jóval többen vágnák rá e kérdésre, hogy „De még mennyire!”, mint ahányan azt, hogy „Aligha!” Annyi mindenképp bizonyos, hogy roppant sokat nyer az, aki megismerkedik a matematika csodálatos, ezerszínű, végeláthatatlan világával, még ha nem is akar eljutni odáig, hogy avatott alkalmazója legyen bármely ágának. Másrészt, igencsak sokan vannak, akik a tanulmányaik során úgy sajátították el bizonyos matematikai eszközrendszerek alkalmazásának mesterségét, hogy semmit sem éreztek meg e tudomány szépségéből, nagyszerűségéből, s számukra az valóban csupán egy hasznos, ám lélektelen eszköz maradt. Az iskolai tanulmányaink során a matematikáról belénk vert ismeretek – a szerencsés kevesek és az igazán tehetséges még kevesebbek kivételével - legfeljebb odáig vittek el, hogy valamelyes képet kaptunk a hasznosságáról, a szépségeiről azonban a legtöbbünk annyit tud, mint a siket a zenéről. Nem a mi hibánk, de a mi veszteségünk. Aztán az embernek – ha szerencséje van – a kezébe kerül egy igazán jó könyv, amilyen ez is, és azt olvasva kibontakozik előtte ez a csodás világ. Davis és Hersh könyve Hamlet szavait idézi a fejünkre: “több dolgok vannak földön és egen...”. Lenyűgöző tudásvilág sokszínű, ismeretlen tájait villantja fel. Nem tankönyv, nem alkalmas rá, hogy belőle tanuljunk matematikát. Széles panorámát tár elénk a matematikai vizsgálódások különböző tájairól, de nem vezet be a vizsgálódás eszközeinek ismeretébe. Csupán segít meglátni e tájak létezését, és valamit megsejteni az intellektuális örömökből, amelyeket azok kutatása kínál a hozzáértőknek.

Persze az, hogy milyen könnyen ill. nehezen adja magát, igen erősen függ attól, milyen mélyre akarunk hatolni a megértésben. Proklosz görög matematikus, neoplatonikus filozófus írta le Eukleidészről, hogy „I. Ptolemaiosz király megkérdezte tőle, hogyan lehetne a geometriát könnyen elsajátítani, Eukleidész ezt felelte: "A geometriához nem vezet királyi út.""

A szerzők előszavából: „Nem az a könyv célja, hogy a matematika egy — akár klasszikus, akár modern —speciális területének rendszeres, önálló kifejtését mutassa be, hanem az, hogy áttekintést adjon a matematikai ismeretek kimeríthetetlen sokaságáról. Könyvünk fő vonala a matematika lényege, története, filozófiája és a matematikai tudás keletkezésének módja lesz. A könyvet inkább tájképnek, mintsem térképnek kell tekinteni. Ez nem matematikakönyv, hanem könyv a matematikáról, de elkerülhetetlenül tartalmaznia kell némi matematikát is. Ugyanígy, ez nem történelem vagy filozófiakönyv, de szó lesz benne a matematika történetéről és filozófiájáról is. Következésképpen az olvasónak rendelkeznie kell némi előismerettel ezekben a témákban, és nélkülözhetetlen az érdeklődés csírája, amelyet elültet és öntöz. Ezzel a háttérrel a könyv jelentős részének megértése nem okozhat nehézséget az átlagos olvasónak. Ugyanakkor számos helyen speciális eszközöket használunk, és a magyarázatot olyan hivatásos matematikusoknak szánjuk, akik használják vagy fejlesztik a matematikát. Itt az olvasó úgy érezheti magát, mint a vendég, akit meghívtak egy családi vacsorára. Udvarias és általános beszélgetés után a család rátér a szűkebb családi problémákra, örömeikre, gondjaikra, és a vendég egyedül marad dermedten az űrben. (Van ilyen! – OP) Ezekre a részekre az olvasó csak egy futó pillantást vessen, és könnyű szívvel haladjon tovább!”

Kettejük (egyes szám első személyben írt) Nyitányából, e könyv születéséről és tartalmáról: „Közönséges matematikus voltam körülbelül öt évvel ezelőttig. Nem csináltam merész és szokatlan dolgokat, mint amilyen például egy ilyen könyv írása. Megvolt a magam "területe", ezen belül maradtam, legfeljebb a határain kalandoztam túl egy-egy szomszédos területre. Komoly gondolataim, igazi intellektuális életem olyan kategóriák és értékek körül mozgott, amelyeket évekkel azelőtt, még mint posztgraduális képzésben részt vevő diák szívtam magamba. Minthogy nem kalandoztam messzire ezektől a kategóriáktól és értékektől, alig voltam tudatában létezésüknek. Annak a módnak voltak részei, ahogy a világot láttam, nem pedig részei annak a világnak, amelyet néztem. (…) A helyzet ennek ellenére az, hogy eljutottam egy olyan pontra, ahol csodálatom és elragadtatásom e furcsa tevékenységgel kapcsolatban, amelyet matematikának nevezünk, ugyanakkora, sőt időnként még nagyobb is, mint az elragadtatásom a tényleges matematizálástól. Én a matematikát egy határtalanul komplex és rejtelmes világnak találom; feltárni ezt olyan szenvedély, amelyből engem remélhetőleg sohasem lehet kigyógyítani. Ennyiben pont olyan matematikus vagyok, mint a többi. De ezenkívül kifejlesztettem egy másik felet, egy Másikat, aki csodálkozva nézi ezt a matematikust, és még sokkal inkább el van ragadtatva, hogy ez a furcsa teremtmény és ez a furcsa tevékenység világra jött és fennmaradt évezredeken keresztül. Ennek a kezdetét arra a napra tenném, amelyiken végül elhatároztam, hogy egy Matematika alapjai című kollégiumot tartok. Ezt a kollégiumot elsősorban felsőbb éves matematika főszakos hallgatóknak szántam. Célom e kollégium szervezésével — mint az összes többivel, amelyet az évek során tartottam — az volt, hogy én magam megtanuljam az anyagot. (...) A matematika alapjaival foglalkozó kollégium kezdetén megfogalmaztam azokat a kérdéseket, amelyeket központiaknak gondoltam, s amelyekről reméltem, hogy a félév végére megválaszolhatók, vagy legalábbis tisztázhatók. Mi a szám? Mi a halmaz? Mi a bizonyítás? Mit tudunk a matematikában és hogyan? Mi a "matematikai szabatosság"? Mi a „matematikai intuíció"? Ahogy megfogalmaztam ezeket a kérdéseket, rájöttem, hogy magam sem tudom rájuk a választ. Természetesen ez nem volt meglepő, hiszen ilyen megfoghatatlan, "filozofikus" kérdések esetében nem számíthatunk olyan típusú határozott válaszokra, mint amilyeneket a matematikában keresünk. E kérdések esetében mindig lesznek véleménykülönbségek. De ami igazán zavart engem, az az volt, hogy magam sem tudtam, mi is az én saját véleményem. És ami még rosszabb, hogy nem volt olyan alapom, kritériumom, ami alapján értékelhettem volna a különböző nézeteket, védhettem vagy támadhattam volna egyik vagy másik nézőpontot. Elkezdtem más matematikusokkal is beszélgetni a matematikai bizonyításról, tudásról, realitásról, és azt találtam, hogy az én zavarodott bizonytalanságom nagyon is általános. Ugyanakkor mindenki részéről azt tapasztaltam, hogy szeretnék megbeszélni és megvitatni személyes tapasztalataikat és meggyőződéseiket. Ez a könyv ezen évek tűnődései, hallgatásai és vitái eredményének egy részét tárja az olvasó elé.

A tartalmat illetően igen beszédesek a nagy részek címei: ϴ A matematika tájai ϴ A matematikai tapasztalatok skálája ϴ Külügyek ϴ Belügyek ϴ Válogatott matematikai témák ϴ Tanítás és tanulás ϴ A bizonyosságtól a kétségig ϴ Matematikai realitás.

Az első mi mással is kezdődne: „Mi a matematika?” Ebben olvashatjuk: „A matematika definíciója változik. Minden generáció és a generáció minden komoly matematikusa megfogalmaz egy, az ismereteivel egybehangzó definíciót. Sok különböző megfogalmazást fogunk megvizsgálni, mielőtt pontot tennénk a könyv végére.” És: „Egy naiv definíció szerint, amely megfelel egy értelmező szótárnak, vagy a megértés kiindulópontja lehet, a matematika a mennyiség és a tér tudománya. Kicsit kibővítve ezt a definíciót, azt is hozzátehetjük, hogy a matematika a mennyiségre és térre vonatkozó szimbólumokkal is foglalkozik. (…) Ennek a könyvnek az egyik célja éppen az, hogy módosítsa és kiegészítse ezt oly módon, hogy tükrözze a növekedést, amely az anyagban az elmúlt néhány század során bekövetkezett, és jelezze a különböző matematikai iskolák elképzeléseit arról, hogy mi is lenne a tárgya a matematikának.”

Erős kezdés: A Milyen volt a matematika i.e. 1700-ban? című, Dél-Irakból származó ékírásos agyagtáblák mellett szereplő írásban olvashatjuk: „A kidolgozott két feladat a másodfokú egyenletek megoldásának standard babiloni matematikai módszerét követi.” (Kiemelés tőlem – OP)

Fejlődés (napjainkban exponenciálisan gyorsuló): „A matematika önmagára épül, aggregatív tudomány. (…) Gyakran úgy festik le, mint egy hatalmas fát, amelynek gyökerei, törzse, ágai és gallyai a tudomány bizonyos részterületeinek nevét viselik. Ez a fa egyre nő és terebélyesedik. (…) Ami régi és igaz, az tovább él, és igaz is marad — legalábbis elvben. Minden, ami egyszer matematika volt, az matematika marad — legalábbis elvben. Így a matematika terebélyesedő elméleti és gyakorlati ágaival egy hatalmas növekvő organizmusnak tűnik. (…) Az újabb szakágak megértéséhez nélkülözhetetlen a régiek ismerete.” És: „Alexander Ostrowski, orosz származású-svájci matematikus azt mondta egyszer, hogy amikor (1915 körül) a marburgi egyetemen az államvizsgájára került a sor, elvárták tőle, hogy fel legyen készülve minden kérdésből a matematika összes ágában. (…) Az 1940-es évek végén Neumann János úgy becsülte, hogy egy szakképzett matematikusa kor matematikájának kb. a tíz százalékát tudhatja.” Ma pedig: „A finomabb osztályozás több mint 3000 kategóriára bontva mutatná be a matematikát. A 3000 kategória legtöbbjében új eredmények születnek, egyre növekvő mértékben. Az óceán egyre terjeszkedik, mélységben és szélességben egyaránt.”

Matematika és a számítógép: „A legenda szerint az 1940-es évek végén, amikor az öreg Tom Watson, az IBM cégtől, megtudta, hogy mekkora lehetőségek rejlenek a számítógépben, úgy becsülte, hogy kettő vagy három ki fogja elégíteni az egész nemzet szükségleteit. Sem ő, sem más nem látta előre, hogy a nemzet matematikai szükséglete olyan hihetetlen gyorsasággal növekszik majd, hogy minden rendelkezésre álló számítógép-kapacitást kihasznál.” (Azért ne feledjük, hogy „a nemzet”, egyre inkább valamennyi nemzet már évtizedek óta legfőképp nem matematikai, hanem informatikai és infokommunikációs célokra használja a számítógépeket. – OP) Másrészt: „A számítógépek és a matematika közötti kapcsolat sokkal összetettebb, mint azt a laikus gondolná. A legtöbben azt hiszik, hogy minden hivatásos matematikus használ számítógépet. Az igazság az, hogy szemben a mérnökökkel, fizikusokkal, vegyészekkel és közgazdászokkal, a legtöbb matematikus nem használ számítógépet és nem is törődik vele. Sőt, sok matematikus szakmai önérzetét sérti az az elképzelés, hogy matematikai alkotó munkát valaha is gépesíteni lehet. Természetesen az alkalmazott matematikusoknak, akik természettudósokkal és mérnökökkel együtt gyakorlati kérdésekre keresnek numerikus választ, a számítógép már sok éve nélkülözhetetlen segédeszköze.” Ne feledjük mindehhez, hogy a könyv eredeti kiadása 1981-ben jelent meg. Így olvassuk, hogy: „Az elmúlt néhány évben azonban a számítógép komoly lendületet adott az elméleti matematikának. Ez valószínűleg annak az eredménye, hogy a fiatalabb matematikus generációban sokan vannak, akik már tanultak az egyetemen számítógép-programozást, és akiknek a számítógép-terminál épp olyan természetes, mint a telefon vagy a bicikli. Úgy látszik, hogy változás következik be a matematikai kutatásban. (…) Az a tény, hogy a számítógépek hozzáférhetőek, a matematikusokat arra csábítja, hogy olyan irányú kutatásokat folytassanak, ahol a számítógép szerepet játszhat.”

Egy fejezet felvázolja az ideális matematikus portréját - rendkívül szellemesen, már-már Karinthy jó tanulójára hajazva. Pár vonás ebből: „Nem tud elítélőbb véleményt elképzelni egy diákról, mint ha azt mondják róla: "Még azt sem tudja, mi az, hogy bizonyítás". Mégsem tud általános magyarázatot adni arra, hogy mi tekinthető egzaktnak, mi kell ahhoz, hogy egy bizonyítás pontos legyen. A saját munkájában a választóvonal a teljes és nem teljes bizonyítás között valamelyest mindig homályos, és gyakran vitatható.” Egy kis fricska: „.Neki és kollégáinak semmi kétségük sincs afelől, hogy a nem-Riemann-hipernégyzetek épp oly határozottan és objektíve léteznek, mint a gibraltári szirt, vagy a Halley-üstökös. Sőt, egyik legfőbb eredményük, hogy a nem-Riemann-hipernégyzetek létezését bebizonyították, míg a gibraltári szirt létezése, bár felettébb valószínű, de nincsen egzaktul bizonyítva.” (Kiemelés tőlem – OP) És: „Élete sikeres annyiban, hogy új tényeket tud felfedezni velük kapcsolatban. Nehéznek találja, hogy értelmes beszélgetést folytasson az emberiségnek azzal a jelentős hányadával, amelyik sohasem hallott a nem-Riemann-hipernégyzetekről.”

Felettébb szellemesen jellemzik a matematikust, valójában a matematikát és mások hozzáállását, egy klasszikus eszközzel: párbeszédekkel. Ilyeneket folytat emberünk az egyetem egy tájékoztató hivatalnokával, egy diákkal, egy pozitivista filozófussal és egy szkeptikus bölcsésszel. S ebből egy újabb kis fricska, a konklúziók egyikeként: „A matematikusok meggyőződése, hogy ők az objektív valóságot vizsgálják. A kívülálló számára viszont úgy tűnik, hogy saját magukkal és néhány barátjukból álló kis klikkel való titkos kapcsolattal vannak elfoglalva. Hogyan tudnánk mi matematikusok bebizonyítani a szkeptikus kívülállónak, hogy tételeinknek a mi társaságunkon kívül is van értelmük?”

Egy fejezet a matematika hasznosságát vizsgálja. Ebből, talán némi fanyar szakmai önkritikával: „.A csillagász vagy a fizikus azért tekinti hasznosnak, mert a matematika a tudomány nyelve. Az építőmérnök számára azért, mert lehetővé teszi, hogy hidat építsen. A matematikus pedig azt fogja mondani, hogy a matematikán belül egy matematikai konstrukció akkor hasznos, ha egy másik matematikai konstrukcióra alkalmazható.”

A már említett G. H. Hardy híres, Egy matematikus védőbeszéde c. művéből idézik: „Soha nem csináltam semmi "hasznosat". (…) A matematikus életének értéke, bármiféle gyakorlati norma szerint ítéljük is meg, a nullával egyenlő; és mindenképpen jelentéktelen a matematikán kívül. (…) Az én életem értelme tehát — és mindenki másé is, aki ugyanabban az értelemben volt matematikus, mint én — az, hogy adtam valamit a tudáshoz, és segítettem másoknak, hogy még többet adjanak.” Természetesen minden, amit a matematika gyakorlati alkalmazásáról tudunk, minden, amit e könyv is erről elénk tár, élénk cáfolata ennek. A szerzők pedig így folytatják: „Hardy véleménye szélsőséges, mégis a XX. századi matematika domináns erkölcsi világképében központi szerepet játszó hozzáállást fejez ki: azt, hogy a matematika igazi célja a maradandó művészi alkotás létrehozása. És ha időnként a tiszta matematika valamely gyönyörű művéről kiderül, hogy még hasznos is, annál jobb. De a hasznosság alacsonyabb rendű cél, mint az elegancia és a mélység.” Ámde: „Az utóbbi néhány évben észrevehető hozzáállásbeli változás következett be az amerikai matematikusok meghatározó részében. (Emlékezzünk, megjelent 1981-ben, a szerzők pedig amerikaiak, ott nézik a világot – OP) Kezd az alkalmazott matematika divatossá válni. Ez az irányvonal biztosan nem független a tudományos állások piacán bekövetkezett változásoktól. (…) Ennek következtében sok matematikus szemmel láthatóan megpróbál kapcsolatot találni saját szakterülete és valamely alkalmazott matematikai terület között. Nem világos, hogy a hozzáállásnak ez a változása végleges-e, vagy csak átmeneti. Kevés jele van annak, hogy megváltozna a matematikus alapvető értékrendje, amely a hasznosságot mint célt alacsonyabb rendűnek tekinti.” Nos, szellemi elegancia vagy sem, évtizedek óta a felsőfokú matematika alkalmazása mozgatja korunk egyik legnagyobb hatóerejű fejlődését, a pénzpiaci innovációkat, s ugyancsak a felsőfokú matematika a nélkülözhetetlen eszköze a mára mindenhatóvá nőtt, és továbbra is robbanásszerűen növekvő informatikának és infokommunikációnak. Aki kételkedne az alkalmazott matematika mai, a gazdasági, a társadalmi és a személyes életünket formáló horderejében, vonja ki belőlük a matematika-alapú eszközöket, és nézze meg, mi marad működőképes.

A Külügyek sokat ígérő, csiklandós fejezetcíme: „A fügefalevél alatt”. Íme a bevezetője: „A matematika számos vonatkozásáról nem sok szó esik a mai matematikatörténetekben. Üzletre és kereskedelemre, háborúra, számmisztikára, asztrológiára és vallásra gondolunk. Bizonyos vonatkozásokat illetően még össze sincsenek gyűjtve az alapvető információk; más vonatkozásokban az írók, azt remélve, hogy igazolhatják a matematika nemesi származását és tisztán tudományos létét, behunyták szemüket. A matematikatörténetek mindent megtettek a tudomány védelmében, de a Tudomány Szolgálólánya sokkal züllöttebb és érdekesebb életet élt, mint ahogy azt a történészek ábrázolják. A fent említett területek színterén a nagy matematikai gondolatok jelentős szerepet játszottak és időnként még játszanak is. A fügefalevél alatt fontos nemzőerő rejtőzik.” A területek pedig, ahová bepillanthatunk: ϴ Matematika a piactéren ϴ Matematika és a háború ϴ Számmisztika ϴ Hermetikus geometria ϴ Asztrológia ϴ Vallás.

A „piactéri” matematikánál áll: „Aligha van a modern matematikának olyan területe, amelyet ne lehetne felhasználni a közgazdaságtanban. A közelmúltban a nemstandard analízist alkalmazták, mert analógiát találtak a kis egyedi cégek és az infinitezimálisok között. Míg a fent említett példák arra mutatnak rá, hogyan segít a matematika a közgazdaságtannak, a másik irány is előfordul, amikor a közgazdaságtan segíti a matematikát. A Brown-mozgás pl. először L. Bachelier korai művében jelenik meg az értéktőzsde mozgásának megfigyelése kapcsán.” Ez utóbbiból fejlesztették ki a pénzpiaci elméletek egyik leghíresebbjét, a tőzsdei árak „véletlen bolyongásának” [random walk] teóriáját. Az idézet kezdő mondatában foglaltak pedig némi malíciával úgy is értelmezhetők, hogy a közgazdaságtan rémülten keres tudományos alapokat és eszközöket, hogy betölthesse a maga szabta rendeltetését, és jól megalapozott tudományként jelenjék meg. Emlékszünk ugyebár a közgazdasági Nobel-díjas Paul Samuelson szavaira a William D. Nordhaus-zal írt, világhírű Közgazdaságtan c. könyvük [Akadémiai Kiadó, 2005] előszavából: „A közgazdaságtan legalább annyira művészet marad mindig, mint amennyire tudománynak számít.”

A végtelenből bármekkora véges mennyiséget veszünk is el, az végtelen marad. („A matematika csodakorsója: a végtelen” – az egyik nem túl könnyű fejezet izgalmas címe.) Így vagyunk ezzel a – kötelező olvasmánynak mondanám – könyvvel is. Bármennyit is mondunk el róla, a matematika csodavilágának további végtelenje várja benne, hogy az olvasó elé tárulhasson. Mi pedig már csak a nagynevű szaklektor, Ruzsa Imre záró esszéjének – Kételkedés a kételkedésről – elejéből idézünk egy kicsit:

„Két ideális matematikus ( sőt, hiperideális, hiszen amerikai) elhatározza, hogy áttöri a szűk szakmai bezárkózás korlátait, és körülnéz a való világban, amelynek talán mégiscsak része az a rezervátum is, amelyet matematikának neveznek. Kérdések sokaságát teszik föl maguknak: Mi az, amit csinálunk — a szakmabeli, a felhasználó és a kívülálló szempontjából? Mi az értéke? Megbízható ismereteket nyújt-e, és főleg miről? Hol és hogyan léteznek a matematikai objektumok, s hogyan tanulmányozhatjuk őket?

A fölvetett kérdések egy részére megvannak a kész válaszok a XX. századi matematikafilozófia három közismert iskolájában. A kérdezők – könyvünk szerzői — nem fogadhatják el egyik iskola válaszait sem, mert ezek a válaszok dogmatikus előítéletekre épülnek, összeegyeztethetetlenek az élő matematikai gyakorlattal és a matematika kozmetikázatlan történetével. Nekilátnak hát saját felfogásuk kialakításának. Alaposan körbejárják a témát, és — meg kell adni — jószemű turistaként derítik föl az ismeretlen tájakat is, kapásból észrevéve a prospektus és a valóság eltéréseit. (Más kérdés, hogy egy ilyen turistaúton fontos részletek esetleg mégis felderítetlenül maradhatnak.) A könyv utolsó lapjain a szerzők eljutnak saját álláspontjuk megfogalmazásához.”