Paul Hoffman: A PRÍMEMBER - Erdős Pál – A matematika szerelmese

Scolar Kiadó, 2012 - Második, javított  kiadás

Dr Osman Péter ismertetése

Egy nagyon nagyon jó könyv korunk egyik legnagyobb hatású, s minden idők legkülönlegesebb munkamódszerű matematikusáról, és a matematika fantasztikus világáról. Hoffman kitűnő, szakmailag és tudománytörténetileg is igen alapos és korrekt, ugyanakkor a laikus érdeklődőnek is élvezetes előadásában megismerhetjük Erdős munkásságát és életét - ami nála ugyanazt jelentette. Különleges, rendkívüli és rendhagyó személyisége olyan lenyűgözően plasztikusan él az oldalain, hogy már-már személyes élménnyé teszi ezt a közvetett találkozást.

Erdős a matematika szinte minden ágával foglalkozott, különös tekintettel a számelméletre, a kombinatorikára, a halmazelméletre, az analízisre és a valószínűség-számításra. Hihetetlenül nagy munkabírásának, mindvégig élénk és szerteágazó érdeklődésének köszönhetően róla olvasva megragadó ízelítőt kapunk a matematika sokrétű tudományából.

Hoffman tíz éven keresztül követte figyelemmel életének eseményeit, feldolgozta barátainak, munkatársainak beszámolóit, visszaemlékezéseit, idézi jellemzéseiket, vele kapcsolatos történeteiket. Hozzáértését, hitelességét erősíti, hogy volt valamelyes matematikai előélete is: „Egyetem után először a Scientific American-nél dolgoztam, és egyszer csak azon kaptam magam, hogy én szerkeszthetem Martin Gardner híres rovatát, a , és megértettem, miért tartotta a matematikát a szépség és az örök igazság forrásának.”

Így bontja ki előttünk Erdős hosszú életét, amelyet a matematikai problémamegoldás iránti olthatatlan szerelem töltött ki. (A magyar jellem és történelem rövid foglalatát viszont inkább ne innen akarjuk meríteni.- OP) Példákként matematikai bizonyításokat is felvázol, s belőlük a jámbor laikus arra a sajátos következtetésre jut, hogy gondolkodásmódját tekintve a matematikus mintha különálló faj lenne. Ezen eltöprengve arra is rájön, hogy ez a gondolkodásmód minden bizonnyal tanulható, ám a mesteri alkalmazásához már különleges tehetség kell.

Hoffman Erdős körén kívül is jócskán szolgál matematikatörténeti részletekkel. Érdekes, apró szakmai arckép-töredékeket ad egyebek közt Fermat-ról, Diophantoszról, Sophie Germainről, Ernst Eduard Kummerről, Andrew Wilesról, Fibonacciról, Cantorról. És jó-e ez, vagy éppen lehangoló: a matematikáról szóló részek kisebb-nagyobb hányadánál az ember rémülten veszi észre, hogy ’de hiszen ezt nekem értenem kellene, ám mégsem értem’; ilyenkor pedig vagy bánatosan mosolyog, vagy nekigyürkőzik, és addig kapaszkodik, amíg legalább valamelyest megérti.

Kár, hogy a kötetnek nincs tárgymutatója. Annyi matematikai témát sorakoztat fel, hogy az igen jó segítség lenne a kereséshez - hiszen még kézikönyvként is jól szolgálna - és olvasás közben a korábban olvasottak visszakereséséhez.

„Végre nem butulok tovább” - Erdős önmaga számára írt sírfelirata ◙ „A matematikus egy gép csupán, amely az elfogyasztott kávémennyiséget elméletekké alakítja.” - Erdős Pál (olvashatjuk: kávéval és olykor serkentőkkel támasztotta alá hihetetlen munkabírását - OP) ◙ „Istenben nem szükséges hinni, a Könyvben viszont igen.” - Erdős Pál (A Könyv itt nem a Biblia. Erdős definiált egy számára érezhetően hasonló jelentőségű „könyvet” - erről később még szólunk) ◙ „Isten létezik, mivel a matematika következetes, de az ördög is létezik, mert ezt nem tudjuk bizonyítani.” - André Weil, számelméleti tudós ◙ „Matematikával bárhol lehet foglalkozni. Egyszer egy igazán fogós problémára találtam megoldást, miközben éppen triplafordulatos hátraszaltót csináltam a gumiasztalomon.” - Ronald Graham a kor egyik vezető matematikusa, Erdős életének egyik igen fontos szereplője. ◙ „A matematikus mintáinak a festő vagy a költő mintáihoz hasonlóan álomszépnek kell lenniük. Az elméletek között is, mint megannyi szó vagy szín között, összhangot kell teremteni. A legelső szempont a szépség: csúnya matematikának nincs helye a világban... A matematikai szépséget nehéz ugyan meghatározni, de minden szépséggel így van az ember - nem tudjuk, mit értünk szép vers alatt, de ez nem akadályoz meg minket abban, hogy felismerjük őket.” G. H. Hardy, angol matematikus, a számelmélet és a matematikai analízis kiemelkedő kutatója. ◙ „Olyan ez, mint megkérdezni, miért szép Beethoven IX. szimfóniája. Ha magadtól nem jössz rá, más nem tudja elmagyarázni. Tudom, hogy a számok gyönyörűek. Ha nem azok, semmi sem az.” - Erdős Pál ◙ „Bizonyos szempontból a matematika az egyetlen határtalan emberi cselekvés. Elképzelhető, hogy az emberiség előbb vagy utóbb mindent megismer a fizikában vagy a biológiában, a matematika azonban végtelen, ezért kimeríthetetlen. Már maguk a számok is végtelenek. Ezért van az, hogy igazából csak a matematika érdekel.” - Erdős Pál ◙ „A fizikus és a matematikus utaznak a repülőn, és mindketten naplót vezetnek. Iowa felett egy fehér lovat pillantanak meg. A fizikus a következőket jegyzi le: <Iowában van egy fehér ló. < A matematikus viszont: <Valahol közép-nyugaton létezik egy ló, melyről tudjuk, hogy a háta fehér. <” - a gondolkodásmódbeli eltérést jellemző viccként idézi Hoffman ◙ „Mi, matematikusok, mindannyian egy kissé flúgosak vagyunk” - Erdős idézi Lev Davidovich Landau Nobel-díjas elméleti fizikus első találkozásukkor hozzá intézett szavait. ◙ „A televíziót az oroszok találták ki, hogy aláássák vele az amerikai oktatási rendszert.” - Erdős (És ha az oroszokban nem is, a romboló hatásban milyen igaza van! - OP) - Idézetek a kötetből.

Szerfelett, többszörösen is jellemző Erdős gondolkodására a fentebb említett Könyv. Hoffman idézi tőle: „Nem tisztem eldönteni, van-e Isten. Én legalább is kételkedem benne. Mindazonáltal azt szoktam mondani, hogy az SF-nek van egy transzfinit Könyve (transzfinit a matematikában annyit tesz: nagyobb, mint végtelen), melyben megtalálható az összes matematikai tétel legelegánsabb és legtökéletesebb bizonyítása.” Hoffman hozzáteszi: „A legnagyobb dicséret, amelyet Erdős valamelyik kollégájának adott, így hangzott: "Ahogyan a Könyvben meg van írva." (Ez a szófordulat valójában Erdőstől függetlenül is ismerős. Feltehetően oda nyúlik vissza, hogy valaha a céhek a maguk Könyvében gyűjtötték a mesterségük féltett szakmai titkait, a tudást és a fogásokat, amelyeket mai, nem éppen Arany Jánostól örökölt fogalmakkal know-how-nak és best practice-nek nevezünk. - OP) Szintúgy jellemző a különös, fanyar szemléletére az, ami a fenti SF mögött áll. Hoffmant idézve: „Az SF a Supreme Fascist, "az Első Számú (inkább Legfőbb - OP) Fasiszta rövidítése, a Legfelső Nagykutyáé, Istené, aki állandóan eldugta Erdős szemüvegét, elcsente magyar útlevelét, vagy - ami még ennél is rosszabb - önmagának tartogatta a különféle ravasz matematikai problémák legfrappánsabb megoldásait.” Erdős szavával: „Az SF a szenvedés élvezetére teremtett minket. Minél hamarabb halunk meg, annál inkább keresztülhúzzuk a számításait.” Nos igen, Erdős aligha lehetett ellenbizonyítéka Landau fentebb idézett állításának.... S ahogyan arra innen, a hosszú életének leírásából ráérezhetünk, az ő országa igazából a matematika világában volt, és sokkal kevésbé a földi hétköznapokéban.

A krédóját így idézi Hoffman: „Az élet célja kitalálni valamit és bebizonyítani. A matematika a legbiztosabb módszer a halhatatlanságra. Ha jelentős matematikai felfedezést teszel, még akkor is emlékezni fognak rád, amikor már mindenki mást elfelejtettek.”

Káprázatos volt a matematikai teljesítménye és a munkabírása. Hoffman szavával: „minden idők legnagyobb munkabírású matematikusaként tartják számon. Nevéhez szerzőként vagy közreműködőként összesen 1475 hosszabb-rövidebb tudományos cikk fűződik (és a matematikára különösképp érvényes, hogy a szellemi érték nincs szerves kapcsolatban a tanulmány hosszával - OP), melyek kivétel nélkül értékes eredményekről adnak számot.” A legenda úgy tartja, hogy a nagy matematikusok alkotóképessége viszonylag korán kiég. „Erdős már a hetvenet is betöltötte, de még mindig volt olyan év, amikor ötven tanulmányt jelentetett meg, többet, mint a legtöbb kiemelkedő matematikus egész életében. Saját példájával igazolta, hogy a matematika nem csupán fiatalemberek szórakozása.” Az életszemléletéről pedig: „Úgy élt, mint egy matematikus szerzetes. Lemondott a testi örömökről és az anyag javakról, hogy aszketikus, szemlélődő életet élve véghezvigye egyetlen célját: a matematika törvényeinek feltárását. (Ez annyiban pontatlan, hogy - amint arról is bőven szól a könyv - hasonlóképp szenvedélyesen követett életcélja volt kiváló matematikusok felfedezése, ösztönzése, fejlődésük szakmai segítése. - OP) (...) Úgy szervezte az életét, hogy a lehető legtöbb idejét tölthesse matematikával. Sem felesége, sem gyerekei, sem munkája, sem hobbija nem volt, de még otthona sem, ahová legalább hazamehetett volna. Egy kopott bőröndben és egy narancssárga <centrumos< nejlonzacskóban elfért minden holmija. Érdekes matematikai problémák és friss tehetségek után kutatva eszeveszett tempóban utazott keresztül-kasul négy kontinensen, egyik egyetemről ki, másik kutatóközpontba be. Szokása volt, hogy egyszerre csak megjelent valamelyik matematikus kollégája ajtajában, <Az elmém nyitva áll< - mondta, majd egy-két napig a vendéglátójával dolgozott (nála is lakott - OP), míg végül el nem unta magát, vagy a munkatársát merítette ki oly mértékben, hogy jobbnak látta valaki mást felkeresni.” Michael Jacobson meséli az első nála tett látogatásáról, amikor ő még ifjú ember, Erdős pedig már hetven éves volt: „Rendkívüli élmény volt. Korábban már hallottam arról, mennyit dolgozik - és számítottam is rá -, de arra nem voltam felkészülve, hogy valóban ennyire nehéz lesz. Az első nap hajnali egyig foglalkoztunk matematikával. A végére teljesen leeresztettem. Fél ötkor csörömpölésre ébredtem a konyhában. Edényeket ütögetett egymáshoz, ily módon sürgetve, hogy keljek fel. Hat óra körül lebotorkáltam, és mik voltak az első szavai? <Tegyük fel, hogy n egész szám, k pedig... <”

A könyvből azt is megtudjuk: vendéglátói bizony gyakran megérezték, hogy Erdős országa nem a hétköznapok világában van, s az alkalmazkodás neki a világ legtermészetesebb módján azt jelentette, hogy hozzá kell alkalmazkodni és minden rigolyájához. Egyik vendéglátójától idézi Hoffman: „A zárt szobákat nem szerette, ezért a földszinten nyitva hagytuk neki az ablakot, és felmentünk aludni. Éjjel kitört a vihar, csak úgy szakadt az eső. Erdős ezt látva felsétált hozzánk, és bejelentette: <Beesik az eső az ablakon. Csinálni kellene valamit.... <”

Különös örömmel heccelte, provokálta a hatalmat. A legszigorúbb biztonsági és titoktartási rendszabályokkal övezett Los Alamos-i háborús atombomba projekt idején a következő képeslapot küldte az ott dolgozó, emigráns Peter Laxnak: „Kedves Peter! Kémeim jelentették, hogy Sam (ez nála az USA kódneve - OP) atombombát készít. Mondd, igaz ez?” Egy másik Los Alamos-i matematikus, Richard Bellman elmondása szerint Erdős kérte, hadd csatlakozhassék hozzájuk. Kamatoztatni akarta a tehetségét a gyűlölt fasiszták ellen, azonban nem volt hajlandó aláírni a titoktartási nyilatkozatot. Belmann elvitte vendéglőbe ebédelni másokkal együtt, akikkel Erdős magyarul beszélgetett, „majd a hangját felemelve angolul ezt kérdezte: <Hogy állnak az atombombával? <”

Ugyanakkor, Ralph Faudree matematikus így beszél róla: „Rendkívül figyelmes embernek ismertem. Érdekelték a gyermekeim, mindig felőlük kérdezősködött, és aggódott, ha valami gond volt velük. Amikor 1981-ben először mentem hosszabb időre Magyarországra, ismerősei lelkére kötötte, hogy gondoskodjanak rólam és családomról: egyikük orvosi dolgokban segített, mások a gyerekek iskoláztatására ügyeltek. Odafigyelt a szükséget szenvedő emberekre. Amikor orosz matematikusok érkeztek Magyarországra üres zsebbel, minden fillérjét nekik adta. Azzal is törődött, ami neked fontos volt, még akkor is, ha nem nagyon tetszett neki....” Sós Vera matematikus pedig: „Akárhányszor Magyarországra jött, az első két-három napot mindig azzal töltötte, hogy matematikusok édesanyját vagy özvegyét látogatta meg.”

És: „Személyes feladatának tekintette, hogy karbantartsa kollégái matematikai képességeit. Amikor megbetegedtek, addig-addig ösztökélte őket különféle fejtörőkkel, míg meg nem gyógyultak.” Szintúgy feladatának érezte - írja Hoffman -, hogy szerte a világon csodagyerekeket fedezzen fel. Pelikán József matematikus szerint, aki 15 évesen találkozott vele, „úgy nevelte a fiatal tehetségeket, hogy hivatásos matematikusnak tekintve őket problémák tömkelegét zúdította rájuk.” „A gondoskodás nagyon is bevált - folytatja Hoffman. Bár néhány ifjú tehetség <fiatalon meghalt< (Erdős sajátos szóhasználata azokra, akik felhagytak a matematikával - OP), igen sokan korunk vezető matematikusaivá fejlődtek.”

Összesen 485 társszerzővel működött együtt, többel, mint bármelyik matematikus. Ebből egy különleges mutató is született: a matematikusok már említett Erdős-száma. Évente 1500 levelet írt, amelyek matematikán kívül csak elvétve foglalkoztak mással. Rendszerint így kezdte őket - írja Hoffman -: „Ausztráliában vagyok, holnap indulok Magyarországra. Legyen k a legnagyobb egész szám...”

Az 50-es évek elejétől kezdve azzal is próbálta ösztönözni a matematikusokat, hogy különböző díjakat tűzött ki általa megnevezett matematikai problémák megoldóinak. Ezek nagysága „10-től 3000 dollárig terjedt, attól függően, hogy Erdős milyen nehézséget tulajdonított a feladatnak.”

„Erdős által rengeteget ment előre a matematika (mondja Richard Guy matematikus, a Calgary Egyetem Professzor Emeritusa). Számomra azonban még ennél is nagyobb jelentőséggel bír, hogy számtalan matematikust indított útnak. Ő volt a matematika par excellence <feladatgyárosa<. Az a képessége, hogy bármilyen nehézségű problémával elő tudott állni, legendássá tette. (...) Nem egyszerűen jól kérdezett - mindig a megfelelő embernek tette fel kérdéseit. Jobban tudta, mire vagy képes, mint saját magad. Önbizalmat öntött belénk, hogy legyen erőnk matematikai kutatásokba kezdeni.” „Különleges adottsággal rendelkezett: képes volt egy fokkal nehezebb feladatot adni, mint amilyet eddig csináltál (mondja a már említett Ronald Graham). Megválaszolhatatlan kérdéseket bárki fel tud tenni, ő viszont olyanokat talált, amelyek megválaszolása után többet tudtunk meg a világról...”

A vérbeli matematikus lelke: Bertrand Russell mondta a már idézett G. H. Hardyról, akinek Hoffman szerint „a bizonyítás volt a mindene”: „ha be tudná bizonyítani, hogy öt percen belül meghalok, nagyon szomorú lenne az elvesztésem miatt, de a levezetés adta öröm ezt az érzést messze elnyomná.” Hardy pedig így beszél felfedezettjéről a rendkívüli matematikai őstehetség, autodidakta indiai Ramanujanról: „Szinte hátborzongató módon ismerte a számok tulajdonságait. Littlewood (Hardy matematikus munkatársa - OP) mondta róla, hogy minden pozitív egész szám a személyes ismerőse volt.” Hoffman idézi a világhírű matematikus Stanislaw Ulamot, a Teller-Ulam nukleáris fegyver konstrukció egyik létrehozóját, a Monte Carlo-módszer megalkotóját: „Egy Los Alamos-beli fizikusnak panaszolta, hogy <ő olyan tiszta matematikus, aki eleddig csak absztrakt szimbólumokkal dolgozott, de immár annyira mélyre süllyedt, hogy a legutóbbi jelentéseiben már tényleges számok, sőt tizedesvesszős számok szerepeltek, ami pedig (legalább is szerinte) a legnagyobb szégyen! <” Ugyanide illik egy régi mondás, amelyet Hoffman idéz: „a megtámadásra érdemes problémák azzal bizonyítják érdemüket, hogy visszatámadnak” És még egy figyelemre méltó adalék: „Erdős megkérdezte Hardytól, mivel gazdagította leginkább a matematika tudományát. A válasz nem váratott sokat magára: <Ramanujan felfedezésével<.”

Köznapi embernek első találkozásra meghökkentő, milyen mértékben önmagáért való kutatásnak is tűnik Erdős egyik kedvenc területe, a számelmélet. Mint Gombóc Artúr csokoládé-litániája, sorakoznak a meglepő matematikai fogalmak: a régi görögök „barátságos számai”, „tökéletes számai”, a prímszámok rejtelmei, az összetett számok, a számok „kereksége”, vagy éppen a Ramanujan által bevezetett „különösen összetett számok”. Az is igaz, viszont, hogy utóbb nagyon gyakorlati jelentőséget is nyerhetnek az eredményei. Hoffman is említi például a rendkívül nagy prímszámok szerepét a titkosításban.

Erdős abszolút megszállottja volt a tudományának. Amikor nagy nehezen rászánta magát egy szemműtétre, mivel csak az egyik szemét érzéstelenítették el, hosszas vitába kezdett a sebésszel, hogy a műtét alatt miért ne olvashatna matematikai szaklapot a másikkal. Élete utolsó évében az évente megrendezett Nemzetközi Kombinatorikai, Gráf- és Számelméleti Szimpóziumon ”előadása felénél járhatott, amikor fel akart írni valamit a táblára, ám hirtelen összeesett. A hallgatóság megrémült, és a biztonságiak megpróbáltak mindenkit kitessékelni a teremből. <Szóljanak nekik, hogy ne menjenek el! <- mondta, amikor visszanyerte az eszméletét. <Még két tételt el akarok mondani. <”

Ernst Strauss, Albert Einstein matematikus asszisztense mondta Erdős hetvenedik születésnapján: „Einstein gyakran kifejtette nekem, miért választotta a fizikát a matematika helyett. Szerinte a matematika teli van olyan nagyszerű és érdekfeszítő kérdésekkel, amelyekre az ember könnyen elpazarolhatja az energiáját anélkül, hogy a központi problémákra rátalálna. A fizikában viszont ráérzett ezekre a fontos kérdésekre, és úgy érezte, a tudós fő feladata ezen problémák feltárása, miközben nem szabad, hogy bármilyen bonyolult vagy éppen vonzó kérdés elvonja a figyelmét. Erdős következetesen és sikeresen hágta át ezeket az einsteini elveket. Minden érdekfeszítő probléma csábításának engedett, és nagy részük meghajolt előtte.”